شرایط دوران خیامدر اوایل دوران زندگی خیام، ابن سینا و ابوریحان بیرونی به پایانِ عمر خود رسیده بودند. نظامی عروضی سمرقندی او را «حجة الحق» و ابوالفضل بیهقی «امام عصر خود» لقب داده‌اند. از خیام به عنوان جانشین ابن‌سینا و استاد بی‌بدیلِ فلسفه طبیعی (مادی) ریاضیات، منطق و متافیزیک یاد می‌کنند.نگرش‌هاوجود خداونداو از خداوند «وجود واجب» یاد می‌کند و دلایلی برای وجود او در رسالهٔ فی‌الوجود بیان می‌کند. مباحث دیگری دربارهٔ خداوند که خیام به آن می‌پردازد، اعم است از علم خداوند به کلیات و جزئیات و ماهیت پیچیدهٔ ذات الهی.درجه‌بندی موجوداتاز نظر خیام سخت‌ترین مشکل فلسفی شرح درجه‌بندی موجودات و طرز رتبه‌بندی آنها از نظر اشراف است. خیام در «در باب هستی و ضرورت» چنین می‌گوید:آنچه از مهم‌ترین و دشوارترین مشکلات [حل] باقی می‌ماند، تفاوت میان ترتیب موجودات است... شاید من و استادم، استاد همه پیش از او، ابن سینا، با تأمل در این مسئله تأمل کرده باشیم و در حدی که عقل ما راضی کننده است، آن را درک کرده باشیم.— در باب هستی و ضرورتدر روایت‌های گوناگونای رفته و بازآمده بل هم گشتهآمده است که روزی خیام با شاگردان از نزدیکی مدرسه‌ای می‌گذشتند. شماری، دست به کارِ بازسازی آن آموزشگاه بودند و چارپایانی، پیوسته بارهایی (شامل سنگ و خشت و غیره) را به داخل مدرسه می‌بردند و بیرون می‌آمدند. یکی از آن چارپایان از وارد شدن به مدرسه می‌ترسید و هیچ‌کس نمی‌توانست آن را وارد مدرسه کند. چون خیام این اوضاع را دید، جلو رفت و در گوش چارپا چیزی گفت. سپس چارپا آرام شد و داخل مدرسه شد. پس از این‌که خیام بازگشت، شاگردان پرسیدند که ماجرا چه بود؟خیام بازگفت که آن خر، یکی از محصلان همین مدرسه بوده و پس از مردن، به این شکل درآمده و دوباره به دنیا بازگشته است (اشاره به نظریهٔ تناسخ) و می‌ترسید که وارد مدرسه بشود و کسی او را بشناسد و شرمنده گردد. من این موضوع را فهمیدم و در گوشش خواندم:ای رفته و بازآمده بَل هُم گشته  نامت ز میان مردمان گم گشتهناخن همه جمع آمده و سم گشته  ریشت ز عقب درآمده، دُم گشتهو چون متوجه شد که من او را شناخته‌ام، به درون مدرسه رفتن تن درداد.سه یار دبستانیبنا به روایتی، خیام و حسن صباح و خواجه نظام‌الملک به سه یار دبستانی معروف بوده‌اند که هریک در بزرگسالی به راهی رفتند. حسن، رهبری فرقهٔ اسماعیلیه را بر عهده گرفت؛ خواجه نظام‌الملک، سیاستمداری بزرگ شد و خیام، شاعر و اندیشمندی گوشه‌گیر شد که در آثارش اندیشه‌های نو و دلهره و اضطرابی از فلسفهٔ هستی و جهان وجود داشت.برپایهٔ داستان سه یار دبستانی این سه در زمان کودکی با هم قرار گذاشته بودند که هر کدام اگر به جایگاهی رسید آن دو دیگر را یاری رسانَد. هنگامی که نظام‌الملک به وزیری سلجوقیان رسید به خیام فرمانروایی بر نیشابور و گرداگرد آن سامان را پیشنهاد کرد، ولی خیام گفت که سودای ولایت‌داری ندارد. پس نظام‌الملک ده‌هزار دینار ماهیانه برای او تعیین کرد تا در نیشابور به او پرداخت کنند.طولی نکشید که حسن صباح مقامی عالی در دستگاه حکومت پیدا کرد ولی بین وی و خواجه نظام‌الملک اختلافی به‌وجود آمد و خواجه توانست با نیرنگ حسن صباح را در چشم سلطان سلجوقی خوار کند. حسن سوگند یاد کرد که از خواجه انتقام بگیرد و در نهایت خواجه نظام‌الملک را به قتل رساند.چنان‌که محمدعلی فروغی در پیش گفتار تصحیح خود از خیام اشاره کرده است: این داستان سند معتبری ندارد، و تازه اگر راست باشد، حسن صباح و خیام هر دو باید بیش از ۱۲۰ سال عمر کرده‌باشند، که بسیار دور از ذهن است. به‌علاوه، هیچ‌یک از هم‌دوره‌های خیام هم به این داستان اشاره نکرده است.دستاوردهاریاضیاتحسین معصومی همدانی خیام را «یکی از بزرگترین ریاضی‌دانان تاریخ» می‌داند. س.ا. کانسوا گفته: «در تاریخ ریاضی سده‌های ۱۱ و ۱۲ م، و شاید هم بتوان گفت در تمام سده‌های میانه، حکیم عمر خیام متولد نیشابور خراسان نقش بِسزایی داشته است.»پیش از کشف رسالهٔ خیام در جبر، شهرت او در مشرق‌زمین به‌واسطهٔ اصلاحات سال و ماه ایرانی و در غرب به‌واسطهٔ ترجمهٔ رباعیاتش بوده است. اگر چه کارهای خیام در ریاضیات (به ویژه در جبر) به صورت منبع دست اول در بین ریاضی‌دانان اروپایی سدهٔ ۱۹ م. مورد استفاده نبوده است، می‌توان رد پای خیام را به واسطهٔ طوسی در پیشرفت ریاضیات در اروپا دنبال کرد.کهن‌ترین کتابی که از خیام نامی به میان آورده و نویسندهٔ آن هم‌دورهٔ خیام بوده، نظامی عروضی مؤلف چهار مقاله است؛ اما او خیام را در ردیف منجمین ذکر می‌کند و اسمی از رباعیات او نمی‌آورد. با این وجود جورج سارتن با نام بردن از خیام به عنوان یکی از بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان قرون وسطی چنین می‌نویسد: